Դիպչելով անվերջությանը. Պատմություն ամենամեծ թվերի մասին
Դեռ դպրոցական մաթեմատիկայից բոլորս հիշում ենք, որ բնական թվերի բազմությունը անվերջ է, այսինքն` ցանկացած n բնական թվի համար կգտնի բնական թիվ, որը մեծ է n-ից։ Մեր առօրյա կյանքում արդեն միլիոնը բավականին մեծ թիվ է` այն դժվարությամբ ընկալելու համար, էլ չասած միլիարդի կամ տրիլիոնի մասին։ Առավելագույն թիվը, որը պրակտիկ իմաստ ունի կիրառել, օրինակ, ֆիզիկայում, հավասար է մոտ 10^90-ի (մեկ ու 90 հատ զրո). դա դիտարկելի Տիեզերքում տարրական մասնիկների միջին թիվն է։ Գուգոլը` (1 ու 100 հատ զրո) արդեն գերազանցում է այն ամենն, ինչի մասին մարդկանց մեծ մասը կարող է մտածել, իսկ գուգոլպլեքսով (1 ու գուգոլ հատ զրո) կարելի է սահմանափակել մեզ հայտնի Տիեզերքի բոլոր ալտերնատիվ պատմությունները։
Բայց մաթեմատիկոսները սովորական մարդիկ չեն։ Նրանք դուրս են գալիս առօրյա պատկերացումներից ու դիպչում անվերջությանը։ Pan.am-ը կպատմի երեք հսկա թվերի մասին ու հույս ունի, որ դա ձեզ մոտ գլխապտույտ չի առաջացնի։
ԳՐԵՄԻ ԹԻՎԸ
Թե գուգոլը, ու թե գուգոլպլեքսը ահռելի մեծ են գիտակցությամբ դրանք ընկալելու համար։ Սակայն այդ թվերը ընդհանրապես համեմատելի չեն ամերիկացի մաթեմատիկոս Ռոնալդ Գրեմի անունը կրող թվի հետ, ով այն նկարագրել է 1977-ի իր հոդվածում։ Գրեմի թիվը Ռամսեյի տեսության հետ կապված լուրջ մաթեմատիկական խնդրի շուրջ աշխատանքի արդյունք է։
Մեզ ու մեր ընթերցողներին անհրաժեշտ է շատ դանդաղ մոտենալ Գրեմի թվին, ինչպես ալպինիստներն են դանդաղ ու զգուշությամբ նվաճում ամենաբարձր լեռնագագաթները։ Առաջին քայլով կծանոթանանք մեծ թվերը գրի առնելու հատուկ հնարքի հետ, որը հայտնագործել է ամերիկացի ինֆորմատիկ Դոնալդ Քնութն ու որը ստացել է սլաքային նոտացիա անվանումը։
Այն հիմնված է հետևյալ փաստի վրա. մաթեմատիկայում բազմապատկումը միշտ կարելի է պատկերացնել որպես բազմակի գումարում, իսկ աստիճան բարձրացնելը` որպես բազմակի բազմապատկում։ Օրինակ, 3 × 4 նույնն է, ինչ 3 + 3 + 3 + 3, իսկ 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3։ Քնութի նոտացիայում աստիճան բարձրացնելը նշվում է վերև ուղղված միակ սլաքով. օրինակ, գուգոլը կամ 10¹⁰⁰ գրվում է որպես 10↑100, իսկ երեքի խորանարդը կամ 3³ -ը` որպես 3↑3։ Կրկնակի աստիճան բարձրացնելը, որը չունի հատուկ ստանդարտ նշում, գրվում է երկու սլաքների տեսքով. այսպիսով, 3↑↑3 = 3^3^3։ ↑↑ օպերացիան կոչվում է տետրացիա (քանի որ այն չորրորդն է հիերարխիայում` գումարումից, բազմապատկումից ու աստիճան բարձրացնելուց հետո), ու այն շատ ավելի ուժեղ է, քան կարող է թվալ առաջին հայացքից։ Եթե 3↑3 = 27, ապա 3↑↑3 = 3^3^3 = 3²⁷, ինչը հավասար է 7 625 597 484 987-ի։ Տետրացիան կարելի է պատկերացնել որպես աստիճանային աշտարակ։ Եթե a թվի հետ անհրաժեշտ է իրականացնել k կարգի տետրացիայի օպերացիա, դա գրվում է հետևյալ կերպ.
Այլ կերպ ասած, թիվը բարձրացվում է աստիճանով` ներկայացված k — 1 հարկ բարձրությամբ աշտարակով։
Տեմպը, որով աճում է մաթեմատիկական գործողության արդյունքը նոր սլաքներ ավելացնելու դեպքում, շշմեցուցիչ է. եթե 3 × 3 = 9, ապա 3↑3 = 27, 3↑↑3 = 7.6 տրիլիոն (13-նիշ թիվ)։ Չորս թվի տետրացիայի արդյունքը էլ ավելի շշմեցնող է. 4↑↑4 = 4↑4↑4↑4 = 4↑4↑256, ինչը մոտավորապես հավասար 10↑10↑154-ի, այսինքն` գուգոլպլեքսից (10↑10↑100) ահռելի անգամներ շատ։ Զգալիորեն անցնել այդ ահռելի թվից հնարավոր դարձավ ընդամենը երկու չորսի ու երկու սլաքի օգնությամբ։
Այսպիսով, եթե մենք նման հսկայական քայլ արեցինք` սովորական աստիճան բարձրացնելուց անցնելով տետրացիայի, ապա, հավանաբար, ևս մեկ սլաք ավելացնելու դեպքում կարելի է ստանալ էլ ավելի տպավորիչ արդյունք։ Այո, այո, դուք չեք սխալվում։ Կրկնակի տետրացիայի դեպքում, որը կոչվում է պենտացիա, արդյունքը կմեծանա այնքան, որ շունչդ կկտրվի։ Ոչ մի առանձնահատուկ բան չպարունակող 3↑↑↑3 -ը դա 3↑↑3↑↑3-ն է, ինչը, իր հերթին, հավասար է 3↑↑7 625 597 484 987-ի. դա նույնն է, ինչ 3↑3↑3↑3…↑3, այսինքն` 7 625 597 484 987 հատ երեքներից բաղկացած աստիճանային աշտարակ։ Եթե ընդամենը չորս հարկանի աշտարակը բավարար է գուգոլպլեքսը զգալիորեն գերազանցող թիվ ստանալու համար, ապա պատկերացրեք ինչ կստացվի այս դեպքում։ Դա աներևակայելի մեծ թիվ է. մարդկային կյանքը չի բավարարի այն անգամ աստիճանային աշտարակի տեսքով գրի առնելու համար։ Տպագրված տեսքով այդ աշտարակը կհասնի մինչև Արեգակ։
Այս թիվը, հայտնի որպես «տրիտրի», զգալիորեն ավելի մեծ է կիրառելի ցանկացած թվից։ Սովորական մահկանացուները չեն կարող այն ընկալել։ Իսկ մենք դեռ նոր ենք սկսել։ Տրիտրին, իր ահռելիության հետ մեկտեղ, չնչին ավազահատիկ է հսկայական լեռնագագաթի մոտ, որն իրենից ներկայացնում է Գրեմի թիվը։ Ավելացնելով ևս մեկ սլաք, մենք կստանանք 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑3↑↑↑3 = 3↑↑↑տրիտրի։ Եկեք հասկանանք, ինչ է դա նշանակում։
Աստիճանային աշտարակների կուտակման մեջ ամենաառաջինը մեզ մոտ 3-ն է; երկրորդը` 3↑3↑3, կամ 7 625 597 484 987-ը; երրորդը` 3↑3↑3↑3…↑3-ը` 7 625 597 484 987 հատ երեքներով կամ տրիտրին; չորրորդը` 3↑3↑3↑3…↑3, որում կա տրիտրի հատ երեք; և այսպես շարունակ։ 3↑↑↑↑3-ը դա տրիտրի համարի աշտարակն է։ Երեք սլաքներին ևս մեկն ավելացնելով` մենք ահռելի հեռավորություն անցանք, այնքան հեռու, որ անհնար է պատկերացնել։ Բայց մենք հասել ենք ընդամենը g₁-ին` g թվերի շարքից ամենաառաջինին, որոնք անհրաժեշտ են լեռնագագաթին` այսինքն` Գրեմի թվին հասնելու համար։
Մի քիչ շունչ քաշելով g₁ ճամբարում` շարունակում ենք բարձրանալ մինչև հաջորդ` g₂ ճամբարը։ Հիշո՞ւմ եք, որ թվի գրառման մեջ ընդամենը մեկ սլաք ավելացնելով` մենք այն մեծացնում ենք ահռելի անգամներ։ Հիմա, ուշադրություն։ g₂-ը դա 3↑↑↑↑…↑3 է, որում կա g₁ հատ սլաք։ Այս թվի մասշտաբները ընկալելու անգամ երկչոտ փորձը կարող է ուժեղ գլխապտույտ առաջացնել։ Ընդամենը մեկ լրացուցիչ սլաքը արդյունքը մեծացնում է աներևակայելի անգամներ, իսկ g₂ թվում g₁ հատ նման սլաք կա։ Դուք երևի արդեն գլխի ընկաք, որ g₃ թվում կա g₂ հատ սլաք, g₄ թվում` g₃ հատ սլաք և այլն։ Իսկ ինքը` Գրեմի թիվը կամ G-ն հավասար է g₆₄-ի։ 1980-ին այն գրանցվել էր Գինեսի ռեկորդների գրքում որպես ամենամեծ թիվ, որը երբևիցե օգտագործվել է մաթեմատիկական ապացույցի մեջ։
Մաթեմատիկական խնդիրը, որից ծնվել է Գրեմի թիվը, ծայրահեղ բարդ է լուծել, բայց բավականին հեշտ է ձևակերպել։ Այն կապված է բազմաչափ խորանարդների, այսինքն` n-չափ հիպերխորանարդների հետ։ Պատկերացրեք, որ նման խորանարդի գագաթները զույգերով միացված են իրար կամ կարմիր, կամ կապույտ ներկված հատվածներով։ Գրեմը հնչեցրել էր հետևյալ հարցը. ո՞րն է n-ի նվազագույն արժեքը, որի դեպքում կողերի ներկման ցանկացած տարբերակում կլինի չորս գագաթ, որոնք ընկած են նույն հարթության վրա ու միացված նույն գույնի հատվածներով։ Նրան հաջողվեց ապացուցել, որ n-ի նվազագույն սահմանը 6-ն է, առավելագույնը` g₆₄-ը։ Այս ահռելի տարբերությունը վկայում է խնդրի բարդության մասին։ Գրեմը կարողացավ ապացուցել, որ խնդրի պայմաններին բավարարող n-ի արժեքը գոյություն ունի, սակայն դրա համար նա ստիպված եղավ սահմանել n-ի վերին շեմը աներևակայելի մեծ թվի միջոցով։ Այն ժամանակներից մաթեմատիկոսները կարողացել են կրճատել տարբերությունը մինչև ավելի համեստ արժեքներ` n-ի անհրաժեշտ արժեքների դիապազոնը սահմանելով 13-ից մինչև 9↑↑↑4։
TREE(3)
Ռամսեյի տեսության հետ կապված հետագա աշխատանքը, որը իրականացրել էին մաթեմատիկոսներ Ջոզեֆ Կրասկալն ու Հարվի Ֆրիդմանը, բերեց TREE(3) թվի առաջացմանը, որի անգամ ստորին շեմն է գերահռելի, էլ չասած վերին շեմի մասին։ Եթե Գրեմի թիվը մենք գոնե կարող ենք գրի առնել Քնութի նոտացիայում, ապա TREE(3)-ի դեպքում այն կիրառելի չէ։
TREE (3) = … > A^A(187196)(4), որտեղ անգամ A^2(4)-ն է ավելի մեծ, քան Տիեզերքում ատոմների քանակը, որովհետև A-ն Աքերմանի ֆունկցիա է, որը ռեկուրսիվ կերպով սահմանվում է m ու n ոչ բացասական ամբողջ թվերի համար հետևյալ կերպ.
Օգտագործելով Աքերմանի ֆունկցիան, կարելի է շատ հեշտությամբ գրի առնել Գրեմի թիվը ≈ A64(4)։
Մաթեմատիկոսները հաշվել են, որ TREE(3)-ն ունի տեսական սահման, որը հնարավոր է գրի առնել 2002-ին Ջոնաթան Բաուերսի առաջարկած մասիվ նոտացիայի միջոցով։ Մասիվ նոտացիայում կա հինգ կանոն.
• {а,b,1,…,1,c,d…,n} = {а,a,a,…,{а,b – 1,1…,1,c,d…,n},c – 1,d…,n}
• Եթե 1—4 կանոնները չեն կիրառվում, ապա {а,b,c,d…,n} = {а,{а,b – 1,c,d…,n},c – 1,d…,n}
Պարզագույն դեպքում երկու էլեմենտից բաղկացած մասիվ նոտացիան ունի հետևյալ տեսքը. {10,100} = 10^100 կամ 10 ↑ 100.
Ֆունկցիան աճում է աներևակայելի արագությամբ։ Երեք էլեմենտներից բաղկացած {10,100,2} մասիվը Քնութի նոտացիայում կունենա հետևյալ տեսքը` 10 ↑^2 100։
Բաուերսի եռակի մասիվները լրիվությամբ իդենտիկ են Կոնվեյի նշման եռակի շղթաներին (գրի առնելու ևս մեկ մեթոդ), այստեղ թվերն աճում են ավելի արագ, քան Քնութի նոտացիայում.
{3,3,3} = 3 → 3 → 3 = 3 ^ (3 ^ (3 ^ (3 ^… 7 625 597 484 987 անգամ… ^ 3) ^ 3) ^ 3)
Չորս էլեմենտից բաղկացած մասիվը (օրինակ, {10,100,1,2}) արդեն ավելի մեծ է, քան Գրեմի թիվը ի շնորհիվ Բաուերսի հորինած խորամանկության. չորրորդ էլեմենտին նա «օպտիմիզացնում է» բանաձևը` կրկնապատկելով փակագծերի թիվը.
{3,3,1,2} = 3 {{1}} 3 = 3 {3 {3} 3} 3 = {3, 3, {3, 3, 3}}
Մաթեմատիկայի գեղեցկությունը նրանում է, որ մենք կարող ենք աշխատել տվյալների հետ, որոնք անգամ անհնար է պատկերացնել։ Ցանկացած բարդ խնդիր հնարավոր է հեշտացնել մինչև աներևակայելի պարզ արժեքներ։ Հնարավոր է, որոշ հարցերի պատասխանները մենք երբեք չգտնենք, սակայն դրանց լուծման համար կիրառված մեթոդները պետք կգան գիտելիքի այլ ոլորտներում։ Աճի արագության հիերարխիան կառուցելու այս մեթոդների մշակումն ինքնին կատարելագործում է մաթեմատիկայի շատ բաժիններ։
Բաուերսը հաջող փորձ կատարեց պատասխանելու համար հարցին` ինչպե՞ս հնարքների հիերարխիայի միջոցով ընդլայնել ֆորմալ համակարգի հնարավորությունները։ Փաստացի, մենք գրի ենք առնում ոչ թե թիվը, այլ գոնե տեսականորեն այդ թվին երբևիցե մոտենալու միջոցները։
Բաուերսի նոտացիաները հիանալի հնարավորություն են մոտենալու TREE ֆունկցիան հասկանալուն։ Իհարկե, մենք չենք կարող հստակեցնել TREE(3)-ի արժեքը, բայց նոտացիայի իտերացիոն «բարելավման» օգնությամբ, իրականացված անգլիացի մաթեմատիկոս Քրիս Բերդի կողմից, հնարավոր է եղել պարզել, որ TREE(3) > {3,6,3[1[1¬1,2]2]2}։
TREE-ն գրաֆների տեսության արագ աճող ֆունկցիա է` մշակված մաթեմատիկոս Հարվի Ֆրիդմանի կողմից։ Ենթադրենք, մենք ունենք k-համարակալված գրաֆների (այսուհետ` ծառերի) T1, T2,... հերթականություն` հետևյալ հատկություններով.
• յուրաքանչյուր Ti ծառ ունի ոչ ավելի քան i գագաթ
• ոչ մի ծառ հոմեոմորֆ կերպով տեղադրելի չէ շարքում իրեն հաջորդող ցանկացած այլ ծառում:
Այսպիսի շարքը չի կարող անվերջ լինել։ Առաջինն այս տեսությունն առաջ է քաշել Ջոզեֆ Կրասկալը 1960-ին։ Հարվի Ֆրիդմանը ընդլայնեց տեսությունը` հարցնելով. հաշվի առնելով k-ն, ինչպիսին է այդպիսի շարքի առավելագույն երկարությունը (քա՞նի ծառից է այն բաղկացած)։
Տեսանյութում լավ բացատրվում է TREE(3) ֆունկցիան.
Այդ առավելագույն երկարությունը k-ի ֆունկցիա է, որը կոչվում է TREE(k)։
TREE (1)-ը հավասար է 1-ի։ Առաջին ծառը ունիկալ ծառ է մեկ գագաթով` նշված 1 թվով։ Ակնհայտ է, որ այն տեղադրելի է ցանկացած այլ ծառում, հետևաբար` մենք ավարտում ենք 1 թվի վրա։
TREE(2) = 3։ Առաջին ծառը կարող է լինել միակ միագագաթ ծառը` նշված 1 կամ 2 թվով։ Նշենք այն 1 (կամ կարմիր գույնով)։ Այդ դեպքում ոչ մի այլ ծառ չի կարող օգտագործել 1 նշումը, բոլոր գագաթները պետք է նշվեն 2 թվով (կապույտ)։ Երկրորդ ծառը կարող է լինել կամ միակ միագագաթ ծառը, կամ ունիկալ երկգագաթ։
Այսպիսով, մենք մոտեցանք TREE(3)-ին։ Ու սա աներևակայելի մեծ թիվ է, որի մոտ Գրեմի թիվը չնչին է։ Հավանաբար, այս թվի ճշգրիտ մասշտաբները գտնելու միջոցները երբեք չեն հայտնաբերվի, որովհետև դա զգալիորեն գերազանցում է մարդկային հնարավորությունները։ Տեսնենք, թե ինչ տեսք ունի թվի սկիզբը.
TREE(3)-ն սկսվում է այսպես ու շարունակվում ՇԱՏ երկար ժամանակ։
ՌԱՅՈՅԻ ԹԻՎԸ
Մաթեմատիկոս Ագուստին Ռայոն այս թվի մասին հայտարարել է ամենամեծ թվերի մաթեմատիկական դուելի ընթացքում։ Այն ձևակերպում է հետևյալ կերպ. ամենափոքր թիվը, որը ավելի մեծ է, քան ցանկացած վերջավոր թիվ` գրի առնված առաջին կարգի բազմությունների տեսության միջոցով ու գուգոլ կամ ավելի քիչ սիմվոլների կիրառմամբ։ Այսինքն, Ռայոյի թիվը այնքան մեծ է, որ այն գրի առնելու համար անհրաժեշտ է կիրառել գուգոլ 10¹⁰⁰ հատ սիմվոլ։ Ու խոսքը, բնականաբար, չի գնում սովորական թվանշանների մասին։
Տեսեք, գուգոլ թիվը գրելու համար բավարար է օգտագործել ընդամենը հինգ սիմվոլ. 10¹⁰⁰։ Գրեմի ահռելի թիվը Աքերմանի ֆունկցիան կիրառելով հնարավոր է գրի առնել ընդամենը վեց սիմվոլով` A64(4)։ TREE(3) ահռելի թվի համար բավարար է 27 սիմվոլ Բաուերսի նոտացիաներով. TREE(3) > {3,6,3[1[1¬1,2]2]2}։ Սրանք գուգոլի հետ համեմատած չնչին փոքր թվեր են, էլ ավելի չնչին են թե Գրեմի թիվը, թե TREE(3)-ն` համեմատած Ռայոյի թվի հետ։
Ռայոյի թիվը, ինչպես TREE(3)-ն, անհաշվելի է, այսինքն` անհնար է վերջավոր ժամանակում ու վերջավոր քայլերի միջոցով (օրինակ, համակարգչով) գտնել թվի ճշգրիտ արժեքը։ Ու, բնականաբար, միշտ հնարավոր է գտնել թվեր, որոնք շատ ավելի մեծ են, ու մաթեմատիկոսները դրանով զբաղվում են։ Խոսքը ոչ թե տրիվիալ (Ռայոյի թիվ ↑↑↑…(Ռայոյի թիվ)...↑↑↑Ռայոյի թիվ) աճեցնելու մասին է, այլ նոր մաթեմատիկական մեթոդներով ու հնարքներով այդ թվերը գտնելու մասին։